Was ist eine komplexe Zahl?

In den Erklärungen zu den Fraktalen und in den Formeln tritt immer wieder der Begriff der „komplexen Zahl“ auf, der sicherlich nicht jedem Menschen vertraut ist. Das Wort erklärt sich zugegebenermaßen nicht von allein, deshalb will ich es hier kurz erklären. Dabei muss ich aber wieder etwas weiter ausholen und will dabei auch nicht mit fröhlichen Randnotizen sparen. Weniger fröhlich, aber viel korrekter und abstrakter ist die Erklärung aus jedem vernünftigen Einführungswerk in die Mathematik. Allerdings komme auch ich nicht umhin, abstrakte Gedanken darlegen zu müssen.

Erweiterungen des Zahlenraumes

Die Frage, was eine Zahl denn überhaupt sei, habe ich ja schon in einem vergnüglichen Artikel behandelt. Jetzt geht es in die technischen Feinheiten.

Jedem Menschen dürfte vertraut sein, was die natürlichen Zahlen sind. Es sind die Zahlen, die wie von allein beim Zählen entstehen: eins, zwei, drei, und so weiter.

Der Nutzen dieser Zahlen ist klar. Das haben sie allen anderen Zahlenarten voraus, die im folgenden besprochen werden. Die natürlichen Zahlen entstehen durch das Zählen, durch das direkte Ermitteln einer Anzahl, alle anderen Zahlenarten entstehen durch das Bestreben, jede denkbare Rechnung ausführen zu können. Diese Motivation, ein vollständiges mathematisches System zu errichten, brachte die im Folgenden besprochenen Arten von Zahlen hervor.

Ich beginne mit der durchschaubarsten Form, und das sind

Ganze Zahlen

Mit den natürlichen Zahlen kann man wunderbar addieren, also die Frage beantworten, wieviele Dinge in einer Zusammenfassung von zwei Zusammenfassungen von Dingen enthalten sind. (Hach, klingt das umständlich!) Liegen an der einen Stelle 4 Äpfel und an der anderen Stelle 7 weitere Äpfel, so bekommt man die Gesamtzahl an Äpfeln durch eine Addition heraus:

4 + 7 = 11

Es sind also 11 Äpfel. Nun kann man die Frage natürlich auch umkehren. Man kann fragen, wie viele Äpfel noch fehlen, damit ich 19 Äpfel habe, wenn ich jetzt schon 11 Äpfel habe. Setzen wir einmal völlig gemäß der mathematischen Konvention ein x für die gesuchte Zahl, so will diese Frage klären, für welches x diese Addition richtig ist:

11 + x = 19

Die Frage nach dem richtigen Wert für x wird hier natürlich durch Anwendung der Subtraktion gelöst, ohne dass dem Verstand besondere Zumutungen zuteil werden:

x = 19 – 11
x = 8

Nun gibt es aber ein Problem.

Die Operation der Subtraktion ist bei der Klärung einer ganz naheliegenden Frage entstanden und an sich erstmal sinnvoll. Aber so lange man nur natürliche Zahlen als Lösung zulässt, ist nicht jede Subtraktion lösbar. Es gibt „lösbare“ Subtraktionen wie

23 – 18 = 5

und es gibt „unlösbare“ Subtraktionen wie

18 – 23 = ?

Diesen Zustand fand man unbefriedigend, und aus diesem Grund wurden die sicherlich allgemein bekannten negativen Zahlen eingeführt. Sie bilden zusammen mit den natürlichen Zahlen und der Null die ganzen Zahlen. Die kleine philosophische Betrachtung, dass es nun plötzlich ein Symbol gibt, das eine Anzahl von weniger als Nichts bedeutet, kümmert beim Rechnen nur wenig, und so glauben die meisten Menschen an die Sinnhaftigkeit dieser Erweiterung. Immerhin konnte ein ganzes, auf Verschuldung basierendes Wirtschaftssystem auf Grundlage dieser mathematischen Idee errichtet werden. Wie fragwürdig dennoch ein Symbol für „weniger als Nichts“ ist, mag ein kleiner Witz beleuchten:

Ein Mathematikprofessor ist berüchtigt für seine sehr langweiligen und wenig hilfreichen Vorlesungen, und jedes Semester ist es das gleiche Spiel. Die ersten Vorlesungen sind noch gut besucht, aber im Laufe der Zeit lichten sich die Reihen. Eines Tages hält der Professor eine Vorlesung vor nur noch drei Studenten. Wie so oft, ist die Vorlesung wieder einmal so schlecht, dass fünf Studenten vorzeitig gehen. Am Ende der Vorlesung sagt der Professor: „Wenn jetzt noch zwei Studenten kämen, wäre wohl niemand mehr hier.“

Dennoch, kein Besitzer eines überzogenen Girokontos und kein anderer Betroffener des wirtschaftlichen Wahns der Jetztzeit hat besondere Hemmungen, die Rechnung

18 – 23 = -5

für korrekt und sinnvoll zu halten, und deshalb bekommen solche Konstruktionen eben Wirksamkeit durch allgemeine Übereinkunft. Nur zeigen kann so ein „noch nicht mal Nichts“ eben nicht — wir sind hier allerdings noch lange nicht am Ende mit abstrakten Vorstellungen.

Rationale Zahlen, irrationale Zahlen

Ich will es gar nicht mehr so lang machen. Wenn ich alles so ausführlich würdigen würde wie die recht durchschaubaren ganzen Zahlen, denn käme ich niemals zur eingangs gestellten Frage, was eine komplexe Zahl ist.

Als man die Multiplikation umkehrte, kam man zur Division; und um auch dabei stets ein gültiges Ergebnis zu erhalten, wurden die Brüche eingeführt, die zusammen mit den ganzen Zahlen die rationalen Zahlen bilden. Die rationalen Zahlen sind in Bezug auf die vier Grundrechenarten in sich geschlossen; so lange mit rationalen Zahlen operiert wird, kommen rationale Zahlen als Ergebnis heraus. Dass auch die eher unverdächtigen Brüche mit ihren eigenen logischen Problemen daher kommen, mag eine kleine, satirische Dreisatzaufgabe beleuchten:

Eine Frau braucht für eine Schwangerschaft neun Monate. Wie lange brauchen drei Frauen?

Aber auch hier kümmert man sich beim Rechnen wenig um solche lästige Beschäftigung mit der wenig berechenbaren Realität. Endlich lassen sich alle Rechnungen in den Grundrechenarten ausführen.

Damit könnte man doch zufrieden sein, oder?

Ist man aber nicht, denn es gibt noch mehr sinnvolle Rechnungen. Zum Beispiel das Potenzieren. Ursprünglich handelte es sich nur um eine abgekürzte Schreibweise für wiederholtes Multiplizieren, man schrieb nicht umständlich

2 * 2 * 2 * 2 * 2

sondern statt dessen

25

Um die folgenden Erklärungen verstehen zu können, bedarf es zweier Fachbegriffe. Die Zahl, die wiederholt multipliziert wird — im Beispiel die 2 — wird als Mantisse bezeichnet, die Angabe, wie oft die Multiplikation wiederholt wird — im Beispiel die 5 — nennt man den Exponenten.

Die Potenzschreibweise wurde natürlich auch als Rechenoperation aufgefasst, die den Wunsch nach einer Umkehrung der Rechnung erweckte. Wenn ein Ergebnis bekannt ist, kann entweder nach der Mantisse gesucht werden, diese Operation ist das berüchtigte „Wurzelziehen“ oder Radizieren, das ich damals noch ohne Hilfe eines Taschenrechners in der Schule durchführen musste — eine Quälerei war es! Es kann aber auch nach dem Exponenten gesucht werden, dabei kommt man zum Begriff des Logarithmus.

Beide Umkehrungen können als Ergebnisse Zahlen liefern, die keine rationalen Zahlen mehr sind, die sich also nicht in Form eines Bruches ausdrücken lassen. Das erschien den Entdeckern dieser Tatsache so widersinnig, dass diese Zahlen bis heute den Namen irrationale Zahlen tragen.

Abschweifung: Über das Irrationale in den irrationalen Zahlen

Warum sind diese Zahlen so widersinnig? Das ist wirklich einer kleinen, abschweifenden Betrachtung wert.

Zunächst können wir einmal festhalten, dass zwischen zwei beliebigen verschiedenen rationalen Zahlen immer (mindestens) eine rationale Zahl liegt. Nennen wir unsere beiden Zahlen a und b, und legen fest, dass b die größere der beiden Zahlen ist, dann können wir eine rationale Zahl c konstruieren, die zwischen diesen beiden Zahlen liegt, und das geht auch noch ganz einfach:

c = (a + b) / 2

Da hier nur die vier Grundrechenarten vorkommen und nur rationale Zahlen verwendet werden, ist c immer eine rationale Zahl. Auch ist c größer als a. Der Ausdruck (a + a) / 2 würde sich zu a vereinfachen. Da b nun größer als a ist, ist auch (a + b) / 2 größer als a, und zwar um den Betrag (ba) / 2. Dass c kleiner als b ist, ergibt sich aus der einfachen Umkehrung des gleichen Argumentes. Wir haben also eine rationale Zahl gefunden, die zwischen zwei gegebenen, beliebigen rationalen Zahlen liegt.

Dieses Beispiel ist nur eine von unendlich vielen Möglichkeiten, eine rationale Zahl zu finden, die zwischen zwei gegebenen rationalen Zahlen liegt. Eine andere Operation für diesen Zweck wäre etwa

c = (2a + 5b) / 7

oder auch

c = (19a + 12b) / 31

oder ganz allgemein — und damit sehr abstrakt — ausgedrückt, gilt für zwei beliebige rationale Zahlen a und b und zwei frei gewählte, positive rationale Zahlen e und f, dass die Zahl c

c = (ea + fb) / (e + f)

eine rationale Zahl ist, die zwischen a und b liegt. Ich werde hier nicht weiter erläutern, warum das so ist. Es ist mit den gegebenen Erklärungen leicht einzusehen, und ein strenger mathematischer Beweis der behaupteten Tatsache macht auch nicht so viel Mühe. Mühe würde es hingegen machen, den strengen Beweis in HTML zu tippen… 😉

Man könnte bei diesen Betrachtungen leicht glauben, dass die rationalen Zahlen „lückenlos“ sind. Wir haben ja ein einfaches Verfahren, um mit Hilfe frei gewählter rationaler Zahlen e und f zu zwei ebenfalls beliebigen rationalen Zahlen a und b eine rationale Zahl zu erzeugen, die zwischen a und b liegt. Da e und f frei gewählt werden können und dabei unendlich viele Möglichkeiten zur Verfügung stehen, kommen wir zu dem Schluss, dass zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen unendlich viele rationale Zahlen liegen — und für jede der dabei ermittelten rationalen Zahlen gilt wiederum das gleiche.

Dass es dennoch Rechenoperationen gibt, die Zahlen hervorbringen, die in dieser scheinbar lückenlos dichten Unendlichkeit nicht enthalten sind, wurde mit gutem Recht als völlig widersinnig empfunden. Dass ausgerechnet eine Wissenschaft, die sich mit solchem Widersinn beschäftigt, im Rufe steht, geradezu die Krone der Verstandestätigkeit zu sein, gehört zu den wenig beachteten Widersinnigkeiten der menschlichen Kulturentwicklung.

Ach ja: Wenn man die rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen erweitert, erhält man die reellen Zahlen.

Nur in der Einbildung

Aber mit den reellen Zahlen ist noch lange nicht Schluss mit der Erweiterung des Zahlenraumes. Und das liegt daran, dass sich trotz aller Ausweitung des Zahlbegriffes immer noch nicht jede Wurzel ziehen lässt.

Wenn man die Wurzel aus vier ziehen will, also beantworten will, für welche Zahl x die folgende Gleichung stimmt

x2 = 4

denn ist das noch relativ einfach. Es kommt natürlich 2 heraus, und die Probe zeigt, dass zwei mal zwei wirklich vier ergibt. Wie aber sieht es mit der Frage aus, welche Zahl x die folgende, ganz harmlos aussehende Gleichung erfüllt?

x2 = -4

Moment mal, ist es vielleicht -2. Leider ergibt -2 mal -2 ebenfalls vier, weil minus mal minus eben plus ergibt. Das ist schon seltsam. Wir haben zwei Gleichungen, aber die eine hat zwei Lösungen, während die andere gar nicht lösbar zu sein scheint.

Das mit den zwei Lösungen ist nicht so ein großes Problem.

Aber dass eine einfache Gleichung gar keine Lösung haben sollte, dass also die einfache Rechenoperation, eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen nicht zulässig sein sollte, das ist ein etwas größeres Problem. Offenbar ist der erweiterte Zahlenraum noch nicht vollständig genug.

Das motivierte zur Einführung einer neuen Zahlenart. Diese Zahlen werden imaginäre Zahlen genannt, sie überschneiden sich in keiner Weise mit den rationalen Zahlen. Ihre Grundeinheit heißt i, und diese Zahl i hat die Eigenschaft, dass

i2 = -1

gilt. Vielfache von i können durch Multiplikation mit einer reellen Zahl erzeugt werden. Damit wird auch das Problem der Wurzel aus -4 lösbar, eine Lösung lautet 2i, denn

2i · 2i = 2 · 2 · (i · i) = 2 · 2 · (-1) = -4

Natürlich ist auch -2i eine gültige Lösung, die Rechnung ist genau so trivial.

Welche „Bedeutung“ hat nun aber so eine imaginäre Zahl? Das Wort „imaginär“ bedeutet schon so etwas wie „der Einbildung entspringend“ und „nicht wirklich existierend“. Nicht nur, dass die Mathematik so ehrlich ist, eines ihrer gedanklichen Objekte als „widersinnige Zahlen“ zu bezeichnen, sie bezeichnet ein anderes ihrer gedanklichen Objekte gleich als „eingebildete Zahlen“.

Bei den negativen Zahlen denkt jeder sofort an Schulden und übersieht dabei, dass ein Symbol für „noch nicht einmal Nichts“ auch nicht gerade aus sich selbst heraus sinnvoll ist. Eine imaginäre Zahl ist eine ebenso sinnvolle Erweiterung des Zahlbegriffes wie eine negative Zahl, sie ermöglicht die Durchführung bestimmter Rechnungen, die sonst „verboten“ wären. Allerdings wurde um die imaginären Zahlen noch keine gesellschaftliche Einrichtung ähnlich dem debitistischen Kapitalismus (dem Handel mit Schulden und Schuldscheinen) aufgebaut. Daher fehlt den meisten Menschen jede Erfahrung mit dieser Konstruktion des Geistes und die neue Zahlenart ist derart abstrakt, dass sie leicht für unsinnig gehalten werden kann, da sie vollends unsinnlich ist.

Ach, wie vieles doch in den heutigen Gesellschaften anders wäre, wenn Menschen auch die negativen Zahlen für eine unsinnige Konstruktion hielten!

Endlich: Komplexe Zahlen

Wie schon erwähnt, überschneiden sich reelle und imaginäre Zahlen nicht. Sie können also nicht sinnvoll addiert werden. Ein Ausdruck wie

3 + 2i

ist nicht weiter zu vereinfachen, er wird daher als eine Zahl betrachtet. Da diese Zahl aus einer reellen Komponente und einem imaginären Anteil zusammengesetzt ist, spricht man von einer komplexen Zahl. Und das ist auch schon die ganze Erklärung.

Aber wie viel Erklärung war nötig, um die Erklärung verständlich zu machen!

Man kann mit den komplexen Zahlen ganz normal rechnen. Beim Addieren behandelt man die beiden Komponenten der Zahl separat, um nicht Äpfel und Birnen zusammen zu zählen.

(2 – 4i) + (1 + 2i) = (2 + 1) + (-4 + 2)i = 3 – 2i

Beim Multiplizieren wird die Klammer in gewohnter Weise aufgelöst, allerdings ist hier zu beachten, dass i zum Quadrat -1 ergibt.

(2 – 4i) · (1 + 2i) = 2 + 2 · 2i + -4i + 4i · 2i = -5 – 2i

Alle weiteren Rechenoperationen mit komplexen Zahlen werden in jedem anständigen Einführungswerk erklärt. Dort erfährt man auch schnell, wie trefflich sich die zunächst unsinnig anmutende Konstruktion der komplexen Zahlen in den gesamten Körper der Mathematik einfügt — einige tiefe Zusammenhänge wären ohne die Idee der komplexen Zahl kaum jemals entdeckt worden.

Und das erfreulichste: Weitere Erweiterungen des Zahlenraumes sind nicht mehr erforderlich. Alle Operationen mit komplexen Zahlen haben wieder komplexe Zahlen als Ergebnis.

Da die jetzt vermutlich die meisten Leser glauben, dass komplexe Zahlen nicht gut vorstellbar sind, noch eine kleine Anmerkung: Es gibt eine wunderbar einfache Veranschaulichung der komplexen Zahlen. Aber dazu schreibe ich einen neuen Text.

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Über 124c41

Gaga singt Dada aus der Statt der tausend Dröhne. Ein marginalisierter macht merglig kunst aus künstlich wohrten. Sieben schnabel überdruss.

8 Kommentare zu “Was ist eine komplexe Zahl?

  1. […] In diesem Text setze ich die Möglichkeit zur Programmierung einer eigenen Formel voraus. Meine Beispiele sind im passenden Format für FRACTINT 20, sämtliche Bezeichner in den kurzen Programmen sind komplexe Zahlen. […]

  2. […] Offenbar hat hier jemand nach so etwas ähnlichem wie einen Beweis für die Irrationalität der Wurzel aus 2 gesucht und ist dabei auf meine Erklärung gestoßen, was eine komplexe Zahl ist. Dort findet sich viel Text, aber leider nicht der gesuchte Beweis… […]

  3. Hilfesuchende sagt:

    Ich hätte mal eine kleine Bitte an dich.
    Meine Schule ist der Meinung, dass man dem Jahr der Mathematik gerecht werden muss und will, dass jeder Jahrgang für einen Monat einen Mathekalender entwirft. Dafür sollen die Schüler immer irgendwelche Themen vorstellen als Vorträge oder auf unsere Intranetseite hochladen.
    Ich wollte mit einer Freundin zusammen komplexe Fraktale behandeln, da wir die Gebilde schön finden und der Meinung sind, dass sie mal eine andere Sichtweise zur Mathematik darstellen.
    Doch leider haben wir da ein kleines Problem… wir verstehen nicht, wie sie genau entstehen.
    Wir haben uns ein bissl auf deiner Seite umgeschaut (die übrigens echt schön ist^^), konnten aber dazu nichts genaues finden, oder vielleicht haben wir es auch nur nicht erkannt.
    Informatik ist nicht so unser Gebiet, mit den Texten können wir demnach wenig anfangen. Hättest du einen Tipp, wo wir eine für uns verständliche Erklärung dazu finden könnten? Kurz dazu, was für uns verständlich ist: wir sind 11. Klasse und gehen an ein Gymnasium was Wert auf Mathe legt… mit komplexen Zahlen können wir also umgehen und auch Rekursion ist uns ein Begriff.
    Vielleicht hast du ja auch Lust einen Text dazu für deine Seite zu erstellen 🙂 Das wäre dann wahrscheinlich unterhaltsamer als der total unverständliche Text bei Wikipedia 🙂
    Ach und da ich grad schreibe… wir würden gern einige deiner Bilder dann auch bei uns verwenden, aber da hast du ja geschrieben, dass das kein Problem ist.
    So, genug genervt.
    Wär echt lieb, wenn du uns helfen könntest 🙂

    PS: wieso lässt sich bei deiner Seite nicht so was wie „Kontakt“ finden? Oder finden nur wir das nicht?

  4. 124c41 sagt:

    Tja, den „Kontakt“ gibt es hier absichtlich nicht, und das hängt mit der Rechtslage in der Bundesrepublik Deutschland zusammen. Da man hier als Betrieber auch noch der harmlosesten Website einen Haufen von sinnfreien Verpflichtungen hat (zum Beispiel die Preisgabe einer Anschrift) und sich dennoch in der Hölle angewandter Rechtswissenschaft befindet, sind (fast) alle meine Blogs ins Ausland abgewandert und tue dort natürlich einen Teufel, der Impressumspflcht Genüge zu tun.

    Zum Schreiben werde ich in den nächsten Wochen nicht so richtig kommen… aber besorgt euch doch mal aus der Bücherei „Die fraktale Geometrie der Natur“ von Benoit Mandelbrot. Dieses Buch ist voller guter Beispiele und relativ einfacher Erklärungen.

  5. ACHTUNG sagt:

    Bin gerade über die gute Erklärung hier gestolpert. Erstmal ein Lob!

    Allerdings habe ich vermutlich einen Fehler in der letzten Rechnung entdeckt:
    (2 – 4i) · (1 + 2i) = 2 + 2 · 2i + -4i + 4i · 2i = -5 – 2i
    Ich bekomme als Ergebnis 10 (ohne Imaginärteil)!

  6. ismail sagt:

    hallo schön haben sie es erklärt 😀

    aber ich komm nicht weiter…

    körper der komplexen zahlen C ist mein thema und ich soll das bald vortragen

    aber ich weiss immer noch net was ich lernen soll:(

    können sie mir da villeicht weiterhelfen???

    auf eine antwort würde ich mich sehr freuen!!!

    danke…

  7. Florian Timmer sagt:

    Alles ziemlich okay, doch ist die letzte Rechnung komplett falsch. Das Endergebnis ist wie schon gesagt 10!

  8. Lola sagt:

    Tolle Erklärung, gratuliere!!

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