Fünf Formeln

Diese fünf Formeln wurden von meinem Leser Américo Tavares (Blog) vorgeschlagen und sind durchaus interessant. Dies ist nur eine kurze Vorstellung der Formeln. Die Bilder sind eher als eine Vorschau zu verstehen.

zn+2 = zn+12 + zn + c

In gewisser Weise ist das für mich ein “alter Bekannter”, und ich habe hier auch mehrfach Bilder gebloggt, die mit Hilfe dieser Formel erstellt wurden, vermutlich, ohne diese Formel dabei zu erwähnen. Das Fraktal hat eine optische Ähnlichkeit zur Mandelbrotmenge (die Formel ist ja auch ähnlich), weicht aber sehr deutlich davon ab.

Americo 1 Grundform

Wie sehr die Formen abweichen, wird vor allem beim Hereinzoomen in den Randbereich deutlich:

Americo 1 Detail

Es lassen sich sehr hübsche Bilder aus der Julia-artigen Mengen erzeugen:

Americo 1 Julia

Die Implementation für Ultra Fractal 5 (die Verallgemeinerung für die Julia-artige Menge ist trivial und wird hier nicht gegeben):

am1m {
init:
  c = #pixel
  lz = 0
  z = 0
loop:
  z = z ^ 2 + lz + c
  lz = z
bailout:
  |z| <= @bailout
default:
  title = "Americo 1 (Mandel)"
  maxiter = 400
  float param bailout
    default = 16.0
    min = 1.0
  endparam
}
zn+1 = zn ^ (zn · c)

Es ist leider nicht möglich, diese Formel so in HTML zu setzen, dass sie auch von Browsern dargestellt wird, die kein MathML beherrschen — deshalb habe ich hier das Zeichen ^ für die Exponentation verwendet, wie es auch in vielen Programmiersprachen gängig ist. Das sind die üblichen Probleme, mit denen man es immer wieder zu tun bekommt, wenn man eine Formel setzen möchte…

Dies ist eine Formel, die ich noch nie verwendet habe. Das ist schade, denn das entstehende Fraktal sieht durchaus vielversprechend aus:

Americo 2 Grundform

Die Tendenz zu Rundungsfehlern bei der Iteration ist hier erheblich, deshalb zeigen sich beim Hereinzoomen “ausgefledderte Ränder”, die nicht zum eigentlichen Fraktal gehören:

Americo 2 Detail

Die Ursache für diese Fehler liegt in den recht großen Schwankungen des Iterationswertes durch die Exponentiation. Dieser Effekt lässt sich reduzieren, indem ein deutlich geringerer Fluchtradius (in meinen Formeln: bailout angegeben wird — ich habe hier den recht hohen Wert 600 gewählt.

Die Julia-artigen Mengen sehen vor allem mit geeigneten Einfärbungen interessant aus:

Americo 2 Julia

Die Implementation für Ultra Fractal 5 (die Verallgemeinerung für die Julia-artige Menge ist trivial und wird hier nicht gegeben. c wird darin zu einem Parameter):

am2m {
init:
  c = #pixel
  z = #pixel
loop:
  z = z ^ (z * c)
bailout:
  |z| <= @bailout
default:
  title = "Americo 2 (Mandel)"
  maxiter = 600
  float param bailout
    default = 250.0
    min = 1.0
  endparam
}

Ich musste mit dem Startwert als Iterationswert beginnen, weil Null hoch irgendeiner Zahl eben Null ist.

zn+1 = zn ^ (zn + c)

Es ist leider nicht möglich, diese Formel so in HTML zu setzen… ach, das habe ich doch schon einmal gesagt. ;-)

Auch dies ist eine Formel, mit der ich selbst noch nicht experimentiert habe, obwohl sie auch ein vielversprechendes Fraktal ergibt:

Americo 3 Grundform

Beim Hereinzoomen in den Randbereich zeigen sich recht hübsche spiralförmige Strukturen:

Americo 3 Detail

Die Verallgemeinerung zu einer Julia-artigen Menge ergibt kaum neue Strukturen und ist in meinen Augen nicht so interessant.

Die Implementation für Ultra Fractal 5:

am3m {
init:
  c = #pixel
  z = #pixel
loop:
  z = z ^ (z + c)
bailout:
  |z| <= @bailout
default:
  title = "Americo 3 (Mandel)"
  maxiter = 600
  float param bailout
    default = 250.0
    min = 1.0
  endparam
}

Auch hier musste ich die Iteration mit dem Startwert beginnen.

zn+2 = zn+13 + c ^ zn

Auch hier sagt ein Bild mehr als tausend Worte:

Americo 4 Grundform

Die beiden “schwarzen Inseln” zeigen beim Hereinzoomen den Fraktalcharakter recht deutlich:

Americo 4 Detail

Sehr interessant sind — vor allem bei geeigneter Einfärbung — die Bilder, die sich aus der Julia-artigen Verallgemeinerung dieser Formel ergeben. Sie weisen eine hübsche dreizählige Symmetrie auf, die auf die kubische Iteration zurückzuführen ist, sehen jedoch anders sehr anders aus als die kubische Verallgemeinerung der Mandelbrotmenge:

Americo 4 Julia

Die Implementation für Ultra Fractal 5 (hier mit Julia-Verallgemeinerung, um ein paar Experimente zu beflügeln):

am4m {
init:
  c = #pixel
  lz = 0
  z = #pixel
loop:
  z = z ^ 3 + (lz ^ c)
  lz = z
bailout:
  |z| <= @bailout
default:
  title = "Americo 4 (Mandel)"
  maxiter = 400
  float param bailout
    default = 16.0
    min = 1.0
  endparam
switch:
  type = "am4j"
  c = #pixel
  bailout = bailout
}

am4j {
init:
  lz = 0
  z = #pixel
loop:
  z = z ^ 3 + (lz ^ @c)
  lz = z
bailout:
  |z| <= @bailout
default:
  title = "Americo 4 (Julia)"
  maxiter = 400
  float param bailout
    default = 16.0
    min = 1.0
  endparam
  complex param c
    caption = "Julia-Punkt"
    default = (0.5, 0.3)
  endparam  
}
zn+1 = znc

Dies ist eine so naheliegende Idee, dass ich mich frage, warum ich darauf noch nie gekommen bin. Na ja, vermutlich kommt mir jede gute Idee naheliegend vor, nachdem ich sie gesehen habe…

Americo 5 Grundform

Der Randbereich dieses Fraktales enthält Bänder, in denen interessant aussehende, entfernt an Kristalle erinnernde Strukturen sichtbar werden:

Americo 5 Detail

Hier lassen sich vermutlich recht viele interessante Bereiche finden, die hübsche Bilder ergeben. Allerdings neigt auch dieses Fraktal zu Rechen- und Rundungsfehlern, die sich als unschöne, eingerissene Ränder in das Bild einschleichen.

Die Julia-artigen Darstellungen dieser Formel sind… na ja… ungewöhnlich… und sie bedürfen eines gewissen Geschickes beim algorithmischen Einfärben, um interessante Bilder zu ergeben.

Americo 5 Julia

Die Implementation für Ultra Fractal 5 (die Verallgemeinerung für die Julia-artige Menge ist trivial und wird hier nicht gegeben. c wird darin zu einem Parameter):

am5m {
init:
  c = #pixel
  z = #pixel
loop:
  z = z ^ c
bailout:
  |z| <= @bailout
default:
  title = "Americo 5 (Mandel)"
  maxiter = 600
  magn = 0.25
  float param bailout
    default = 250.0
    min = 1.0
  endparam
}

In den nächsten Wochen werde ich wohl noch ein bisschen mit diesen und ähnlichen Formeln sowie mit einigen Verallgemeinerungen davon experimentieren, die besonders hübschen oder doch wenigstens bemerkenswerten Bilder landen wie üblich hier. Wer Lust hat, sollte ebenfalls ein bisschen experimentieren. In den fraktalen Welten findet jeder einen interessanten Ort… ;-)

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Über 124c41

Gaga singt Dada aus der Statt der tausend Dröhne. Ein marginalisierter macht merglig kunst aus künstlich wohrten. Sieben schnabel überdruss.

12 Gedanken zu “Fünf Formeln

  1. Vielen Dank!

    Die Exponentation Können Sie hier mit LaTeX-Kode darstellen, wenn Sie nicht dagegen etwas haben. Für die erste Formel

    z_(n+1) = z_n ^ (z_n · c)

    schreibt man diesen LaTeX-Kode

    $z_{n+1}=z_{n}^{z_{c}\cdot c}$.

    Um hier einen LaTeX-Kode wie $LaTeX-Kode$ darzustellen, fügt man ‘latex’ nach das erste ‘$’ ein. In diesem Fall ist der LaTeX-Kode

    $z_{n+1}=z_{n}^{z_{c}\cdot c}$

    So, hier ist die Formel

    z_{n+1}=z_{n}^{z_{c}\cdot c}.

    Eine Frage: Kann ich ein Teil Ihres Post kopieren, übersetzen und in mein Blog das Original und die übersetzung eintragen?

    Entschuldigen Sie bitte die Fehler in diesem Schreiben.

    • Oh, danke für den Tipp, dass WP.com LaTeX interpretieren kann, das habe ich noch nicht gewusst. Und ich quäle mich mit HTML herum und ärgere mich, dass so viele Browser kein MathML können… ;-)

    • Eine Frage: Kann ich ein Teil Ihres Post kopieren, übersetzen und in mein Blog das Original und die übersetzung eintragen?

      Aber klar doch…

  2. Das wichtigst habe ich vergessen zu schreiben. Die Bilder finde ich Gut.

  3. [...] seu artigo Fünf Formeln (cinco fórmulas) explica e mostra os fractais assim gerados: o básico (Grundform), um pormenor [...]

  4. [...] und sich manchmal über die Ergebnisse zu wundern. Oder man kann ein bisschen mit neuen Fraktalformeln experimentieren und sich manchmal über die Ergebnisse [...]

  5. Ute sagt:

    Kann man auch umgekehrt vorgehen und ein Fraktal z.B. einen “Kornkreis” in eine Formel packen oder “übersetzten” Ein Fraktal aus einem Kornkreisbild könnte der Rosetta Stein sein um eine Formel zu übermitteln. Ist das vorstellbar?

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