Die Wurzel aus 2 ist irrational

In meiner Statistik fand ich eben den Suchbegriff „Warum die Wurzel 2 keine rationale Zahl „.

Offenbar hat hier jemand nach so etwas ähnlichem wie einen Beweis für die Irrationalität der Wurzel aus 2 gesucht und ist dabei auf meine Erklärung gestoßen, was eine komplexe Zahl ist. Dort findet sich viel Text, aber leider nicht der gesuchte Beweis…

Nun, der Beweis für die Irrationalität der Wurzel aus 2 ist nicht nur sehr alt (die älteste Überlieferung stammt von Euklid aus dem zehnten Buch der Elemente), sondern auch recht einfach zu verstehen. Selbst Menschen, die keinen besonderen Hang zur Mathematik haben, sollten diesem Beweis folgen können. Wer Kenntnisse der einfachen Rechenregeln hat und keine Angst vor etwas abstrakterer Benutzung dieser Regeln bekommt, wird den Beweis mühelos verstehen können.

Das kann man nicht von jedem mathematischen Beweis behaupten. Deshalb werde ich ihn hier mit ein paar Erläuterungen darlegen, wobei ich zwei an dieser Stelle unbewiesene, aber sehr leicht verständliche und damit einleuchtende Behauptungen voraussetze.

Behauptung 1: Jede rationale Zahl ist in eindeutiger Weise als ein Bruch darstellbar, der nicht weiter zu kürzen ist.

Nehmen wir eine beliebige rationale Zahl r, die wir als Bruch, also als Division zweier natürlicher Zahlen p und q schreiben:

r = p / q

Die Zahl p nennt man den Zähler des Bruches, die Zahl q nennt man den Nenner. Es mag manchen Leser zunächst überraschen, dass die Zahlen p und q nicht eindeutig sind. Die rationale Zahl 3/4 lässt sich auch als 6/8, 33/44 oder 51/68 schreiben, alle diese Brüche sind Darstellungen der gleichen Zahl. Wenn sich Zähler und Nenner eines Bruches ohne Rest durch einen gemeinsamen Teiler dividieren lassen, denn ist es möglich, den Bruch zu „kürzen“ – da kommen doch gleich wieder die ganzen Erinnerungen an den leidigen Rechenunterricht hoch…

Wenn die Zahlen p und q aber teilerfremd sind, wenn sich der Bruch nicht weiter kürzen lässt, denn sind die Zahlen p und q für jede rationale Zahl eindeutig. Und das führt zur Formulierung der Behauptung:

Jede rationale Zahl r lässt sich in eindeutiger Weise als Bruch, also als Division zweier teilerfremder natürlicher Zahlen p und q schreiben.

Behauptung 2: Das Quadrat gerader Zahlen ist immer eine gerade Zahl, das Quadrat ungerader Zahlen ist immer eine ungerade Zahl.

Wer dieses Wort wirklich zum ersten Mal hört: Gerade Zahlen sind natürliche Zahlen, die sich ohne Rest durch 2 teilen lassen.

Bei der Multiplikation zweier gerader Zahlen entsteht wieder eine gerade Zahl, deshalb ist auch das Quadrat zweier gerader Zahlen wieder eine gerade Zahl. Bei der Multiplikation zweier ungerader Zahlen, also zweier Zahlen, die nicht ohne Rest durch 2 teilbar sind, entsteht wiederum eine ungerade Zahl, deshalb ist auch das Quadrat zweier ungerader Zahlen ungerade.

Der Beweis: Die Quadratwurzel aus 2 ist nicht als Bruch darstellbar, ist also keine rationale Zahl.

Dieser Beweis ist ein indirekter Beweis. Dabei wird angenommen, dass das Gegenteil der zu beweisenden Behauptung wahr ist, und daraus wird ein Widerspruch abgeleitet. Da eine Aussage nur dann wahr ist, wenn ihr Gegenteil unwahr ist, ist auf diesem Umweg die ursprüngliche Aussage bewiesen worden.

Nehmen wir an, die Quadratwurzel aus 2 sei als Bruch darstellbar, denn gäbe es laut Behauptung 1 zwei teilerfremde, natürliche Zahlen p und q, so dass gilt:

(p / q)² = 2

Die Klammer lässt sich auflösen, so dass sich daraus die folgende Gleichung ergibt:

p² / q² = 2

Wenn nun beide Seiten der Gleichung mit q² multipliziert werden, ergibt sich:

p² = 2 q²

Zusammen mit der Behauptung 2 ergibt sich daraus, dass p eine gerade Zahl ist. Das Doppelte jeder natürlichen Zahl ist gewiss ohne Rest durch 2 teilbar. Die Zahl p/2 ist also eine natürliche Zahl, wir nennen sie im weiteren Verlauf des Beweises r:

r = p / 2

Wenn wir diese Zahl r in unsere letzte Gleichung einsetzen, erhalten wir:

(2 r)² = 2 q²

Auch hier lässt sich die Klammer auf der linken Seite auflösen:

4 r² = 2 q²

Wenn nun beide Seiten dieser Gleichung durch 2 dividiert werden, ergibt sich:

q² = 2 r²

Folglich ergibt sich zusammen mit der Behauptung 2 , dass auch q eine gerade Zahl ist. Wenn aber sowohl p als auch q durch zwei teilbar sind, dann sind sie nicht teilerfremd, der Bruch wäre also zu kürzen gewesen — und dies steht im Widerspruch zu der eingangs gemachten Annahme, dass die Quadratwurzel aus 2 als Bruch darstellbar sei.

Folglich ist die Quadratwurzel aus 2 nicht als Division zweier teilerfremder, natürlicher Zahlen darstellbar und somit auch keine rationale Zahl, was zu beweisen war .

(Und auch noch relativ einfach.)

Kurz zur Geschichte: Es wird überliefert, dass schon die Schule von Pythagoras um die Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 wusste. Allerdings wurde diese Entdeckung dort geheim gehalten, weil man darin ein ernsthaftes philosophisches Problem sah.

Es ist sehr einfach, die Quadratwurzel aus 2 geometrisch zu konstruieren. Die Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 hat gemäß dem Lehrsatz des Pythagoras die Quadratwurzel aus 2 als Länge. Nichts an dieser Zahl ist also ungewöhnlich. Und doch ist diese Zahl in den scheinbar dichten rationalen Zahlen nicht enthalten, was man als widersinnig empfand. Bis in die heutige Zeit hinein heißen diese widersinnigen Zahlen deshalb auch „irrationale Zahlen“.