Störung

Und wieder einmal eine eigene Formel, die hier kurz beschrieben und vorgestellt wird.

Das normale Apfelmännchen, die Darstellung der Mandelbrot-Menge, dürfte ja jedem Freund der Fraktale bekannt sein. Es entsteht durch die sehr einfache Iterationsformel (z ist eine komplexe Zahl)

z_n+1 = z_n² + z₀

Einfachheit hat nicht unbedingt etwas mit Langweiligkeit zu tun. Tatsächluch ist die Mandelbrot-Menge eines der schönsten Fraktale mit einem schier unerschöpflichen Vorrat an ansprechenden Formen. Nur hat man sich leider an diesen Formeln vielfach schon sattgesehen.

Deshalb suche ich immer wieder nach ähnlichen Formeln, in denen ich diese Iteration „störe“, um ähnliche Fraktale zu erhalten, die allerdings andere Strukturen hervorbringen.

Mein neuestes Experiment in dieser Richtung habe ich etwas einfallslos „Störung“ genannt. Es wird die gleiche Formel verwendet, aber wenn entweder der Realteil oder der Imaginärteil des aktuellen Iterationswertes negativ sind, wird eine komplexe Konstante addiert. Je nach Größe dieser Konstante wird das vertraute „Apfelmännchen“ dabei leicht angezerrt oder in bestimmten Bereichen bis zur Unkenntlichkeit verzerrt. Diese Formel sieht so aus:

Stoerung {
z = pixel
if (ismand)
  c = z
else
  c = p1
endif
:
  if (imag (z) >= 0 || real (z) >= 0)
    z = z * z + c
  else
    tmp_z = z + p2
    z = tmp_z * tmp_z + c
  endif
|z| < 4
}

Die Störkonstante wird als Parameter 2 angegeben.

In der Mandelbrotdarstellung wirkt diese Manipulation der Iteration nicht vielversprechend, aber es lassen sich Julia-artige Darstellungen erstellen, die teilweise sehr reizend aussehen. Was besonders schön wirkt, ist die teilweise Auflösung der sehr strengen Formen, die sonst so typisch für Julia-Mengen sind. Ein Beispiel für diese Formel habe ich hier schon in das Blog gestellt. Die folgenden Bilder geben weitere Eindrücke von den möglichen Julia-artigen Mengen, die sich mit dieser einfachen Formel erstellen lassen.

Eigene Experimente mit dieser kleinen Modifikation der Mandelbrot-Iteration sind sehr empfehlenswert.